高二數學｜排列組合進階：不相鄰插空、取捨原理、分堆分組一張表搞定

組合題最常卡住的地方不是公式，而是判斷該用哪一招。這篇用幾個代表題型，把三個核心技巧整理清楚：不相鄰用插空、有重複就扣掉、分堆分組先分堆再分組。

一、不相鄰問題：插空法

例題：火車車廂設置無線網路

一列火車有 10 節車廂，要選 3 節設置無線網路。

（1）任選 3 節：C(10,3) ＝ 120 種。

（2）3 節網路車廂兩兩不相鄰：

先把 7 節沒有網路的車廂排好：

 _ □ _ □ _ □ _ □ _ □ _ □ _ □ _

7 節車廂之間和兩端共有 8 個空位。把 3 節網路車廂各放進不同的空位，就保證它們不會相鄰：

C(8,3) ＝ 56 種

插空法的口訣：先排不受限制的，再把要「分開」的插進空位。

例題：高鐵停站

高鐵路線共 20 站，某班車有 8 站不停，且第一站和最後一站一定要停、不停的站不可以相鄰。有幾種停法？

1. 頭尾兩站已確定要停，只看中間 18 站。
2. 18 站裡 8 站不停，所以 10 站要停。
3. 10 個要停的站排好後，產生 11 個空位。
4. 8 個不停的站插進 11 個空位：C(11,8) ＝ C(11,3) ＝ 165 種。

小技巧：C(11,8) 直接算比較麻煩，用 C(n,r) ＝ C(n, n−r) 換成 C(11,3) 會快很多。

二、有上限的分配：取捨原理（扣掉不要的）

例題：每人最多 3 件

把 5 件不同的物品分給 3 個人，每人最多拿 3 件，有幾種分法？

直接數「每人 0～3 件」的情況很麻煩。換個方向：全部的分法，扣掉違反規定的。

• 全部：每件物品都有 3 個人可以選，3⁵ ＝ 243 種。
• 有人拿 4 件：選 1 個人 C(3,1)，選 4 件給他 C(5,4)，剩下 1 件給另外 2 人 2 種 → 3 × 5 × 2 ＝ 30 種。
• 有人拿 5 件：選 1 個人拿全部 → 3 種。

243 − 30 − 3 ＝ 210 種

三、幾何計數：圓上的直角三角形

圓周上有 10 個等分點，任取 3 點能做出幾個直角三角形？

關鍵觀念：圓周角對到直徑，就是 90°。所以直角三角形一定有一條邊是直徑。

1. 10 等分點，每格 36°，相對的兩點（相差 5 格 ＝ 180°）連起來就是直徑。共有 5 條直徑（1–6、2–7、3–8、4–9、5–10）。
2. 選定一條直徑後，剩下 8 個點任選一個當第三點，都會形成直角。

5 × 8 ＝ 40 個

這類「幾何 ＋ 組合」的題目非常多，關鍵都是先找出決定形狀的條件（這題是直徑），再數。

四、有重複字母的排列

以 COFFEE 這 6 個字母為例（F、E 各重複一次）。

（1）全部排成一列，相同字母不相鄰

正面數很複雜，用取捨原理：

• 全部：6! ÷ (2! × 2!) ＝ 180
• FF 相鄰：把 FF 綁成一個，剩 5 個單位，其中 EE 重複 → 5! ÷ 2! ＝ 60
• EE 相鄰：同理 60
• FF、EE 都相鄰：4 個單位全不同 → 4! ＝ 24

180 − 60 − 60 ＋ 24 ＝ 84 種

（「都相鄰」被扣了兩次，要加回來一次。）

（2）從中取 4 個字母排成一列

字母可能重複，所以依「取到的字母長什麼樣」分類：

6 ＋ 72 ＋ 24 ＝ 102 種

1、2、6、24、120、720 這幾個階乘要背到反射。

五、分堆分組：先分堆，再分組

這是組合裡最多人搞混的地方，記住兩個原則就能一路推下去。

原則 1：用「每堆的個數」判斷要不要除

• 堆本身沒有記號，只能靠個數區分。
• 個數相同的堆，彼此沒辦法區分 → 不排，要除（有 k 堆個數相同就除以 k!）。
• 個數不同的堆，本來就區分得出來 → 不用除。

原則 2：先分堆，再分組

• 分堆：把東西分成一包一包。
• 分組：把這幾包發給人。
• 沒指定誰拿哪一包 → 包和人之間要排列，乘上 (堆數)!。
• 已經指定誰拿幾個 → 不用再排。

一張表整理（24 件不同物品分成 3 堆）

最後一列要特別注意：甲已經確定拿 12 的那一堆，但兩堆 6 個的還可以互換給乙、丙，所以要乘 2!。

這張表務必看好幾遍，所有分堆分組的題目都是它的變形。

練習：9 本不同的書

看關鍵字：「分給」就要分組；「分成幾堆」就只分堆。

六、賽程問題：8 隊單淘汰賽

8 支隊伍打單淘汰賽，賽程表有幾種排法？

方法一：分堆分組

1. 先把 8 隊分成上、下兩個半區各 4 隊：C(8,4)·C(4,4) ÷ 2! ＝ 35（兩個半區沒有區別，要除）。
2. 每個半區再分成兩組各 2 隊：C(4,2)·C(2,2) ÷ 2! ＝ 3，兩個半區都要做 → 3² ＝ 9。

35 × 9 ＝ 315 種

方法二：全部排列再除

把 8 隊排進 8 個位置：8! 種。但賽程表上每一場比賽的兩邊互換，賽程其實一樣。8 隊單淘汰總共有 7 場比賽，每場都可以左右對調：

8! ÷ 2⁷ ＝ 40320 ÷ 128 ＝ 315 種

兩種方法答案一樣，可以互相驗算。

重點整理

1. 不相鄰 → 先排其他的，再插空。
2. 有上限、有排除條件 → 全部扣掉不要的（取捨原理）。
3. 有重複元素的排列 → 除以重複次數的階乘；從中選取時依「取到的組成」分類。
4. 分堆 → 個數相同的堆要除；分組 → 沒指定就乘堆數的階乘，已指定就不用。
5. 賽程表 → 每場比賽可左右對調，n 隊單淘汰有 n − 1 場。