高二數學｜三角函數圖形與疊合：弧度、平移伸縮、週期，一路算到最大最小值

三角函數的圖形題，看起來每題都不一樣，其實只在問三件事：圖形從哪裡開始、多久重複一次、上下界在哪裡。這篇從弧度講起，一路講到疊合求最大最小值。

一、弧度：把「度」換成「實數」

一個圓的圓周長是 2πr。繞一圈走 2πr，角度是 360°。半徑不同，周長就不同，所以拿掉 r，直接用 2π 代表 360°：

360° ＝ 2π，180° ＝ π

換算方法：度數 × π⁄180°。

二、y ＝ sin x 的基本圖形

sin θ 的定義是 y⁄r（在單位圓上就是 y 座標）。讓角度從 0 轉到 2π：

• x ＝ 0 → sin x ＝ 0
• x ＝ π⁄4 → √2⁄2
• x ＝ π⁄2 → 1（最高點）
• x ＝ π → 0
• x ＝ 3π⁄2 → −1（最低點）
• x ＝ 2π → 0，回到起點

走完 0 到 2π 是一個週期，之後不斷重複。上下界在 1 和 −1 之間。

cos x 的圖形形狀一樣，只是 x ＝ 0 時從 1 開始。

三、y ＝ c·sin(ax ＋ b) ＋ d：每個參數管一件事

上下界合起來：最高 c ＋ d、最低 −c ＋ d（c ＞ 0 時）。

為什麼週期是 2π ÷ a？

把 a 想成「轉的速度」（角速度）、x 想成「時間」。a × x 就是轉過的角度。轉完一圈要轉 2π，所以：

a × 週期 ＝ 2π → 週期 ＝ 2π ÷ a

a 越大，轉得越快，週期越短。

例題：y ＝ 3 sin(2x − π⁄2)

1. 新週期：2π ÷ 2 ＝ π
2. 平移：讓 2x − π⁄2 ＝ 0，x ＝ π⁄4。所以圖形是 y ＝ 3 sin 2x 向右平移 π⁄4。
3. 最小值的位置：sin 在 3π⁄2 最小，令 2x − π⁄2 ＝ 3π⁄2，得 x ＝ π。
4. 對稱軸：sin 圖形在最高點、最低點的地方左右對稱，所以 x ＝ π 是一條對稱軸。
5. 對稱於原點嗎？ 不是。其實 3 sin(2x − π⁄2) ＝ −3 cos 2x，x ＝ 0 時 y ＝ −3（最低點），圖形對稱於 y 軸，而且根本不經過原點。

找對稱軸的方法：只要檢查那條直線上是不是最大值或最小值就好。

四、tan x 的圖形與週期

tan θ ＝ y⁄x。從 0 往 π⁄2 走時，x 趨近 0 但仍為正、y 為正，所以 tan 衝向 正無限大；從 0 往 −π⁄2 走時衝向 負無限大。

每隔 π 就重複一次完整的形狀，所以：

tan x 的週期是 π（不是 2π）

五、加絕對值之後，週期會怎麼變

y ＝ |sin x|：絕對值讓 y 只能 ≥ 0，所以把 x 軸下方的部分翻上來。原本 π 到 2π 那段負的波，翻上來後跟 0 到 π 一模一樣：

|sin x| 的週期是 π

y ＝ |sin 2x|：sin 2x 週期是 π，翻上來之後再減半：

|sin 2x| 的週期是 π⁄2

y ＝ cos|2x|：絕對值加在裡面時，意思是「x 取負數時，結果要跟取正數時一樣」，也就是把 y 軸右邊的圖形對稱複製到左邊。cos 本身就左右對稱，所以 cos|2x| ＝ cos 2x：

cos|2x| 的週期是 π

y ＝ |sin x| ＋ |cos x|：週期是 π⁄2（兩個圖形疊加後，每 π⁄2 重複一次）。

絕對值加在外面：把下面翻上去；加在裡面：把右邊複製到左邊。

六、二倍角公式：看到平方就降次

看到 sin²θ、cos²θ、sin θ cos θ 混在一起，先往二倍角想：

cos²θ ＝ (1 ＋ cos 2θ) ÷ 2 sin²θ ＝ (1 − cos 2θ) ÷ 2 2 sin θ cos θ ＝ sin 2θ

記法：加號跟 cos 同一國（cos² 配 1 ＋ cos），減號配 sin²。

七、疊合：a sin x ＋ b cos x 合成一個 sin

a sin x ＋ b cos x ＝ √(a² ＋ b²) · sin(x ＋ θ)

其中 θ 滿足 cos θ ＝ a ÷ √(a² ＋ b²)、sin θ ＝ b ÷ √(a² ＋ b²)。

為什麼要疊合？因為合成一個 sin 之後，它一定介於 −1 和 1 之間，最大最小值馬上就出來：

最大值 √(a² ＋ b²)，最小值 −√(a² ＋ b²)

題目問極值，九成要疊合。

例題：求 y ＝ 8 sin²x ＋ 2 sin x cos x ＋ 4 的最大值與最小值

1. 降次：8 sin²x ＝ 8 × (1 − cos 2x) ÷ 2 ＝ 4 − 4 cos 2x
2. 二倍角：2 sin x cos x ＝ sin 2x
3. 整理：y ＝ sin 2x − 4 cos 2x ＋ 8
4. 疊合：√(1² ＋ 4²) ＝ √17，所以 y ＝ √17 · sin(2x − θ) ＋ 8
5. 極值：sin 介於 −1 到 1

最大值 8 ＋ √17，最小值 8 − √17

小技巧：特殊角的疊合

係數剛好是 1⁄2、√3⁄2、√2⁄2 這些特殊值時，不用算 √(a² ＋ b²)，直接認出它們是 30°、45°、60° 的 sin 或 cos，用和角公式合成：

(1⁄2) sin α ＋ (√3⁄2) cos α ＝ cos 60° sin α ＋ sin 60° cos α ＝ sin(α ＋ 60°)

例如 α ＝ 28° 時，結果就是 sin 88°。

重點整理

1. 180° ＝ π，度數換弧度乘 π⁄180°。
2. y ＝ c·sin(ax ＋ b) ＋ d：新起點 −b⁄a、新週期 2π⁄|a|、上下界 ±c ＋ d。
3. 對稱軸在最大值或最小值的位置。
4. tan x 週期是 π。
5. 絕對值在外面把負的翻上來；在裡面把右邊對稱複製到左邊。
6. 看到平方先用二倍角降次；看到 a sin ＋ b cos 先疊合。
7. 疊合後最大值 √(a² ＋ b²)、最小值 −√(a² ＋ b²)，再加上常數。